【系统函数的零点与极点怎么求】在信号与系统分析中，系统函数（通常称为传递函数）是描述线性时不变系统输入与输出关系的重要工具。系统函数的零点和极点是分析系统稳定性、频率响应和动态特性的重要依据。本文将总结如何求取系统函数的零点与极点，并以表格形式清晰展示相关方法。
一、系统函数的基本概念
系统函数 $ H(s) $ 是系统在复频域中的表示，通常为有理分式形式：
$$
H(s) = \frac{N(s)}{D(s)} = \frac{b_0 s^n + b_1 s^{n-1} + \cdots + b_n}{a_0 s^m + a_1 s^{m-1} + \cdots + a_m}
$$
其中：
- $ N(s) $ 为分子多项式，代表系统的零点；
- $ D(s) $ 为分母多项式，代表系统的极点。
二、零点与极点的定义
- 零点：使系统函数 $ H(s) = 0 $ 的 $ s $ 值，即分子多项式 $ N(s) = 0 $ 的根。
- 极点：使系统函数趋于无穷大的 $ s $ 值，即分母多项式 $ D(s) = 0 $ 的根。
三、求解步骤总结
| 步骤 | 内容说明 |
| 1. | 确定系统函数 $ H(s) $ 的表达式，通常由微分方程或电路模型推导得出。 |
| 2. | 将 $ H(s) $ 表示为有理分式形式 $ \frac{N(s)}{D(s)} $。 |
| 3. | 求解分子多项式 $ N(s) = 0 $ 的根，得到系统的零点。 |
| 4. | 求解分母多项式 $ D(s) = 0 $ 的根，得到系统的极点。 |
| 5. | 若系统为离散时间系统，则使用 $ z $ 变换后的 $ H(z) $ 进行相同操作。 |
四、举例说明
假设系统函数为：
$$
H(s) = \frac{s + 2}{s^2 + 3s + 2}
$$
分子部分：$ s + 2 = 0 \Rightarrow s = -2 $
→ 零点为：$ s = -2 $
分母部分：$ s^2 + 3s + 2 = 0 \Rightarrow (s + 1)(s + 2) = 0 $
→ 极点为：$ s = -1, s = -2 $
五、注意事项
- 零点和极点可以是实数或共轭复数，具体取决于系统参数。
- 如果零点和极点相同，称为零极点相消，可能影响系统稳定性。
- 极点的位置决定了系统的稳定性：若所有极点位于复平面左半部（对于连续系统），则系统稳定；若极点位于右半部或虚轴上，则系统不稳定或临界稳定。
六、总结
系统函数的零点与极点是分析系统行为的关键参数。通过求解分子和分母多项式的根，可以明确系统在复平面上的特征点，从而进一步判断系统的稳定性、频率响应等特性。掌握这一方法，有助于深入理解系统的工作原理及设计优化方向。
表格总结：
| 项目 | 方法 |
| 零点 | 解分子多项式 $ N(s) = 0 $ 的根 |
| 极点 | 解分母多项式 $ D(s) = 0 $ 的根 |
| 系统稳定性 | 极点是否位于复平面左半部（连续系统） |
| 实例 | $ H(s) = \frac{s+2}{s^2+3s+2} $，零点：-2；极点：-1, -2 |
