【求一个圆截直线的弦长】在解析几何中，求一个圆被一条直线所截得的弦长是一个常见的问题。解决这个问题需要结合圆的方程与直线的方程，通过代数方法计算出交点，再利用两点间距离公式得出弦长。以下是该问题的总结及关键步骤。

一、基本概念

- 圆的方程：一般形式为 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$，其中 $(a, b)$ 是圆心，$r$ 是半径。

- 直线的方程：通常表示为 $Ax + By + C = 0$ 或 $y = kx + c$。

- 弦长：指直线与圆相交时，两个交点之间的线段长度。

二、解题思路

1. 联立方程：将直线方程代入圆的方程，得到关于 $x$ 或 $y$ 的二次方程。

2. 求解交点：解这个二次方程，得到两个交点的坐标。

3. 计算弦长：使用两点间距离公式 $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ 计算弦长。

三、简化方法（不求交点直接求弦长）

若只需求弦长而不需要具体交点，可使用以下公式：

$$

\text{弦长} = 2\sqrt{r^2 - d^2}

$$

其中：

- $r$ 是圆的半径；

- $d$ 是圆心到直线的距离。

这个公式来源于几何中的垂直距离关系，适用于已知圆心和直线方程的情况。

四、关键步骤总结

五、示例说明

设圆的方程为 $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9$，直线方程为 $x + y - 4 = 0$。

- 圆心 $(1, 2)$，半径 $r = 3$

- 圆心到直线的距离 $d = \frac{1 + 2 - 4}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

- 弦长 $= 2\sqrt{3^2 - \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} = 2\sqrt{9 - \frac{1}{2}} = 2\sqrt{\frac{17}{2}}$

六、注意事项

- 若 $d > r$，直线与圆无交点；

- 若 $d = r$，直线与圆相切，弦长为 0；

- 若 $d < r$，直线与圆相交，有两条交点，形成弦。

通过以上方法，可以高效地求出圆与直线相交所形成的弦长，避免了复杂的代数运算，提高了解题效率。