【求根公式推导】在数学中，一元二次方程的求根公式是解决形如 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的方程的重要工具。通过推导这一公式，可以深入理解二次方程的解法逻辑，并掌握其应用方法。以下是对求根公式的详细推导过程总结，并以表格形式展示关键步骤。
一、求根公式推导过程总结
1. 标准形式：
方程为 $ ax^2 + bx + c = 0 $，其中 $ a \neq 0 $。
2. 移项：
将常数项移到等号右边：
$ ax^2 + bx = -c $
3. 系数归一化：
两边同时除以 $ a $，得到：
$ x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a} $
4. 配方法：
在左边加上一次项系数一半的平方，使左边成为完全平方：
$ x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 $
5. 左边因式分解：
左边变为完全平方：
$ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} $
6. 开平方：
两边同时开平方：
$ x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} $
7. 整理表达式：
移项并化简：
$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $
二、推导步骤表格
| 步骤 | 操作 | 公式 |
| 1 | 原始方程 | $ ax^2 + bx + c = 0 $ |
| 2 | 移项 | $ ax^2 + bx = -c $ |
| 3 | 系数归一化 | $ x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a} $ |
| 4 | 配方法 | $ x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 $ |
| 5 | 左边因式分解 | $ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} $ |
| 6 | 开平方 | $ x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} $ |
| 7 | 解出x | $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $ |
三、结论
通过上述推导过程，我们得到了一元二次方程的求根公式：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
该公式适用于所有实数系数的一元二次方程，且能够准确给出方程的两个解（当判别式 $ b^2 - 4ac > 0 $ 时有两个实根；当等于零时有一个重根；小于零时则无实根）。
掌握这一公式的推导过程，有助于提升对代数运算的理解，并为后续学习更高阶的方程提供基础。
