【两个正态分布相加公式】在概率论与统计学中，正态分布是最常见且最重要的概率分布之一。当两个独立的正态随机变量相加时，其结果仍然服从正态分布。这种性质使得正态分布在实际应用中非常方便，尤其是在金融、工程、自然科学等领域。
本文将总结两个正态分布相加的基本公式，并以表格形式展示关键信息，帮助读者快速理解并应用这一知识。
一、基本概念
设 $ X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2) $ 和 $ Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2) $，其中 $ \mu $ 表示均值，$ \sigma^2 $ 表示方差。若 $ X $ 与 $ Y $ 独立，则它们的和 $ Z = X + Y $ 也服从正态分布。
二、两个正态分布相加的公式
根据正态分布的可加性，若 $ X $ 与 $ Y $ 独立，则：
$$
Z = X + Y \sim N(\mu_1 + \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)
$$
即：
- 均值为两者的均值之和：$ \mu_Z = \mu_1 + \mu_2 $
- 方差为两者的方差之和：$ \sigma_Z^2 = \sigma_1^2 + \sigma_2^2 $
三、关键点总结
| 项目 | 内容 |
| 分布类型 | 正态分布（Normal Distribution） |
| 变量关系 | 独立变量相加 |
| 新均值 | $ \mu_1 + \mu_2 $ |
| 新方差 | $ \sigma_1^2 + \sigma_2^2 $ |
| 标准差 | $ \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2} $ |
| 应用场景 | 信号处理、误差分析、投资组合收益计算等 |
四、举例说明
假设：
- $ X \sim N(10, 4) $，即均值为10，标准差为2；
- $ Y \sim N(5, 9) $，即均值为5，标准差为3；
则：
- $ Z = X + Y \sim N(10 + 5, 4 + 9) = N(15, 13) $
因此，$ Z $ 的均值为15，方差为13，标准差约为3.606。
五、注意事项
1. 独立性是前提：只有当两个正态变量独立时，其和才服从正态分布。
2. 非独立情况：若 $ X $ 与 $ Y $ 不独立，需要考虑协方差，此时方差为 $ \sigma_1^2 + \sigma_2^2 + 2\text{Cov}(X,Y) $。
3. 多个正态变量相加：该性质可以推广到多个独立正态变量相加的情况。
六、结语
两个独立正态分布相加后，其结果仍为正态分布，且新的均值为原均值之和，新的方差为原方差之和。这一性质在数据分析和建模中具有重要价值，尤其适用于需要合并多个随机变量的场景。掌握这一公式有助于提高对正态分布的理解与应用能力。
