【不定积分公式】在微积分的学习中，不定积分是一个非常重要的内容。它与导数相对应，是求原函数的过程。掌握常见的不定积分公式，有助于快速解决各类积分问题。以下是对常见不定积分公式的总结，并以表格形式进行展示，便于查阅和记忆。
一、基本积分公式
| 函数 f(x) | 不定积分 ∫f(x)dx |
| $ x^n $ | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $） |
| $ e^x $ | $ e^x + C $ |
| $ a^x $ | $ \frac{a^x}{\ln a} + C $（$ a > 0, a \neq 1 $） |
| $ \sin x $ | $ -\cos x + C $ |
| $ \cos x $ | $ \sin x + C $ |
| $ \sec^2 x $ | $ \tan x + C $ |
| $ \csc^2 x $ | $ -\cot x + C $ |
| $ \sec x \tan x $ | $ \sec x + C $ |
| $ \csc x \cot x $ | $ -\csc x + C $ |
二、有理函数的积分
| 函数 f(x) | 不定积分 ∫f(x)dx | ||
| $ \frac{1}{x} $ | $ \ln | x | + C $ |
| $ \frac{1}{x^2 + a^2} $ | $ \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $ | ||
| $ \frac{1}{x^2 - a^2} $ | $ \frac{1}{2a} \ln \left | \frac{x - a}{x + a}\right | + C $ |
| $ \frac{1}{ax + b} $ | $ \frac{1}{a} \ln | ax + b | + C $ |
三、三角函数的积分
| 函数 f(x) | 不定积分 ∫f(x)dx | ||
| $ \tan x $ | $ -\ln | \cos x | + C $ |
| $ \cot x $ | $ \ln | \sin x | + C $ |
| $ \sec x $ | $ \ln | \sec x + \tan x | + C $ |
| $ \csc x $ | $ -\ln | \csc x + \cot x | + C $ |
四、反三角函数的积分
| 函数 f(x) | 不定积分 ∫f(x)dx | ||
| $ \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} $ | $ \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C $ | ||
| $ \frac{1}{a^2 + x^2} $ | $ \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $ | ||
| $ \frac{1}{x \sqrt{x^2 - a^2}} $ | $ \frac{1}{a} \arcsec\left(\frac{ | x | }{a}\right) + C $ |
五、其他常用公式
| 函数 f(x) | 不定积分 ∫f(x)dx | ||
| $ \frac{1}{x \ln x} $ | $ \ln | \ln x | + C $ |
| $ \frac{1}{x (\ln x)^n} $ | $ \frac{(\ln x)^{1 - n}}{1 - n} + C $（$ n \neq 1 $） | ||
| $ \frac{1}{x^2 + 2ax + b} $ | 可通过配方法转化为标准形式后积分 |
六、注意事项
1. 常数项：积分结果中必须加上任意常数 $ C $。
2. 定义域：某些函数如 $ \frac{1}{x} $ 的积分只在 $ x \neq 0 $ 的区间内成立。
3. 分段函数：对于分段定义的函数，需分别积分后再合并。
4. 换元法与分部积分法：复杂函数通常需要结合这些方法进行积分。
通过熟练掌握上述公式，可以大大提高解题效率。同时，建议多做练习题，增强对不同类型的积分问题的适应能力。
