【10个常用麦克劳林公式】麦克劳林公式是泰勒展开式在 $ x = 0 $ 处的特例，广泛应用于数学分析、物理和工程中，用于近似计算和函数展开。以下是10个常用的麦克劳林公式，以总结形式呈现，并附有表格便于查阅。

一、常见麦克劳林公式总结

1. 指数函数

$ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots $

2. 正弦函数

$ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots $

3. 余弦函数

$ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots $

4. 自然对数函数

$ \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots $ （$ x < 1 $）

5. 反正切函数

$ \arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots $ （$ x \leq 1 $）

6. 二项式展开（一般形式）

$ (1+x)^a = 1 + a x + \frac{a(a-1)}{2!} x^2 + \frac{a(a-1)(a-2)}{3!} x^3 + \cdots $

7. 双曲正弦函数

$ \sinh x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^7}{7!} + \cdots $

8. 双曲余弦函数

$ \cosh x = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \cdots $

9. 正切函数

$ \tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \cdots $（仅适用于 $ x < \frac{\pi}{2} $）

10. 幂函数

$ x^n $ 的麦克劳林展开即为本身，若 $ n $ 为非负整数，则其展开为 $ x^n $。

二、常用麦克劳林公式表

三、小结

麦克劳林公式是将函数表示为无穷级数的一种重要工具，尤其在近似计算、微分方程求解以及数值分析中具有广泛应用。掌握这些基本公式，有助于更深入地理解函数的局部行为和性质。建议结合实际问题进行练习，以提高应用能力。