在数学学习中，不等式是重要的基础知识之一。尤其是在高中阶段，掌握好基本不等式对于解决各类数学问题至关重要。这里总结了四个常见的基本不等式公式，并结合实际案例进行解析。
1. 均值不等式（算术平均-几何平均不等式）
公式表述：
\[ \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \]
其中 \( a \) 和 \( b \) 是非负实数。当且仅当 \( a = b \) 时，等号成立。
应用实例：
若已知两个正数 \( x \) 和 \( y \)，满足 \( x+y=10 \)，求 \( xy \) 的最大值。
根据均值不等式，\(\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}\)，即 \(\frac{10}{2} \geq \sqrt{xy}\)，从而得出 \( xy \leq 25 \)。当且仅当 \( x=y=5 \) 时取等号。
2. 幂平均不等式
公式表述：
设 \( p > q \)，则对于任意正实数 \( a_1, a_2, \ldots, a_n \)，
\[ \left( \frac{a_1^p + a_2^p + \cdots + a_n^p}{n} \right)^{\frac{1}{p}} \geq \left( \frac{a_1^q + a_2^q + \cdots + a_n^q}{n} \right)^{\frac{1}{q}} \]
应用实例：
假设 \( a, b > 0 \)，比较 \( a^3+b^3 \) 与 \( (a+b)^3 \) 的大小关系。通过幂平均不等式可知，\( \left( \frac{a^3+b^3}{2} \right)^{\frac{1}{3}} \geq \frac{a+b}{2} \)，因此 \( a^3+b^3 \geq \frac{(a+b)^3}{4} \)。
3. 柯西-施瓦茨不等式
公式表述：
对于任意两组实数 \( a_1, a_2, \ldots, a_n \) 和 \( b_1, b_2, \ldots, b_n \)，
\[ (a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n)^2 \leq (a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) \]
应用实例：
证明不等式 \( (x+y)^2 \leq 2(x^2 + y^2) \)。利用柯西-施瓦茨不等式，令 \( a_1=x, a_2=y \)，\( b_1=b_2=1 \)，即可得到所需结果。
4. 调和平均-算术平均不等式
公式表述：
\[ \frac{2ab}{a+b} \leq \frac{a+b}{2} \]
其中 \( a, b > 0 \)。当且仅当 \( a=b \) 时，等号成立。
应用实例：
已知 \( a+b=8 \)，求 \( ab \) 的最小值。由调和平均-算术平均不等式得 \( \frac{2ab}{8} \leq \frac{8}{2} \)，即 \( ab \leq 8 \)。当 \( a=b=4 \) 时取等号。
以上便是高中阶段常用的四个基本不等式及其应用场景。熟练掌握这些公式不仅有助于解答相关习题，还能提升逻辑思维能力和解决问题的能力。希望每位同学都能在实践中灵活运用这些知识！
